Угловая скорость вращения формула через обороты. Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости. Связь между л

Угловая скорость вращения формула через обороты. Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости. Связь между л

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота . Часто используют вектор элементарного поворота , который равен по величине элементарному углу поворота тела замаленький отрезок времени dtи направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой . Математически определение угловой скорости записывают так:

Угловая скорость - векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

где – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

С числом оборотов в единицу времени () угловая скорость связана формулой:

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

где – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки (рис.1). Вектор проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

Единицы измерения угловой скорости

Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: =рад/с

В СГС: =рад/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением , в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении (относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

Используем заданную в условии задачи функцию , возьмем производную от нее по времени, получим функцию :

Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    В трёхмерном пространстве вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

    ω = d φ d t , {\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}},}

    а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика , то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим против часовой стрелки.

    Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

    Тензорное представление

    Единицы измерения

    Единица измерения угловой скорости, принятая в Международной системе единиц (СИ) и в системах СГС и МКГСС , - радиан в секунду (русское обозначение: рад/с , международное: rad/s ) . В технике также используются обороты в секунду, намного реже - градусы, минуты, секунды дуги в секунду, грады в секунду. Часто в технике используют обороты в минуту - это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто на глаз, подсчитывая число оборотов за единицу времени.

    Свойства

    Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твёрдого тела , вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:

    v → = [ ω → , r → ] , {\displaystyle {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }},{\vec {r}}\ ],}

    где - радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение . Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом расстоянии (радиусе) r {\displaystyle r} от оси вращения можно считать так: v = r ω . {\displaystyle v=r\omega .} Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

    • В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути - если плоскость вращения заведомо известна - может быть заменена скаляром - проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
    • Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
    • Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение .
    • Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчёта , отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
    • В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат :
    ω → = r → × v → (r → , r →) , {\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{({\vec {r}},{\vec {r}})}},} где r → {\displaystyle {\vec {r}}} - радиус-вектор точки (из начала координат), v → {\displaystyle {\vec {v}}} - скорость этой точки, r → × v → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {v}}} - векторное произведение , (r → , r →) {\displaystyle ({\vec {r}},{\vec {r}})} - скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы ω → , {\displaystyle {\vec {\omega }},} подходящие по определению, по-другому - произвольно - выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) - эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как даёт разные ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.
    • В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твёрдого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают

    Движение точки по окружности можно характеризовать углом поворота радиуса, соединяющего движущуюся точку с центром окружности. Изменение этого угла с течением времени характеризуют угловой скоростью. Угловой скоростью точки называют отношение угла поворота радиус-вектора точки к промежутку времени, за который произошел этот поворот. Угловая скорость численно равна углу поворота радиус-вектора точки за единицу времени.

    Угол поворота обычно измеряют в радианах (рад.). Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с) - угловая скорость, при которой точка описывает дугу, опирающуюся на угол, равный одному радиану, за одну секунду.

    Полный оборот по окружности составляет рад. Значит, если точка вращается с частотой , то ее угловая скорость есть

    Если движение точки по окружности неравномерно, то можно ввести понятие средней угловой скорости и мгновенной угловой скорости, как это делалось для обычной скорости в случае неравномерного движения, В дальнейшем, однако, будем рассматривать только равномерное движение по окружности.

    «Обычную» скорость будем, в отличие от угловой скорости, называть линейной скоростью. Легко найти связь между линейной скоростью точки , ее угловой скоростью и радиусом окружности, по которой она движется. Так как, описав угол, равный одному радиану, точка пройдёт по окружности расстояние, равное радиусу, то

    т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

    Пользуясь (115.1), можно выразить центростремительное ускорение точки при движении по окружности через угловую скорость. Подставляя выражение для скорости (115.1) в (27.1), найдем формулу, выражающую центростремительное ускорение через угловую скорость!

    При рассмотрении вращения твердого тела вокруг оси также используется понятие угловой скорости в этом случае угловая скорость у всех точек тела одинакова, так как все они поворачиваются на один и тот же угол. Таким образом, вращение твердого тела вокруг оси можно охарактеризовать угловой скоростью, с которой движутся все его точки. Поэтому будем называть ее угловой скоростью тела. Из формул (115.1) и (115.2) видно, что при вращении твердого тела линейные скорости его точек и их центростремительные ускорения пропорциональны расстоянию от этих точек до оси вращения.

    115.1 . Две точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями по окружностям, радиусы которых относятся, как 1:2. Найдите отношение ускорений этих точек.

    115.2. Что больше: угловая скорость вращения часовой стрелки часов или угловая скорость вращения Земли?

    Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

    Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

    Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T -1 , a . ее единица - радиан в секунду (рад/с).

    Линейная скорость точки (см. рис. 6)

    В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

    При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

    А направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

    Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

    Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

    Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

    При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

     сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном.- противонаправлен ему (рис. 9).

    Тангенциальная составляющая ускорения

    Нормальная составляющая ускорения

    Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а  , нор­мальное ускорение а n ) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

    В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

    где  0 - начальная угловая скорость.

    Контрольные вопросы

    Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

    Что такое система отсчета?

    Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,

    пройденному точкой?

    Какое движение называется поступательным? вращательным?

    Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

    и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

    Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

    ускорения? Каковы их модули?

    Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

    ускорение? Приведите примеры.

    Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

    Какова связь между линейными и угловыми величинами?

    Задачи

    1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A t t 2 + Dt 3 (С = 0,1 м/с 2 , D = 0,03 м/с 3). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с 2 ; 2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с 2 ]

    1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета.

    1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At+5Вt 4 (A=2 рад/с 2 и B=1 рад/с 5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t= 1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а = 8,5 м/с 2 ; N = 0,48]

    1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r= 4 м, задается уравнением а n +-Bt+Ct 2 (A =1 м/с 2 , В =6 м/с 3 , С =3 м/с 4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t 1 =5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t 2 =1 с. [ 1) 6 м/с 2 ; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с 2 ]

    1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t =1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

    1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением =A +Bt+Ct 2 +Dt 3 (B = l рад/с, С =1 рад/с 2 , D =l рад/с 3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а  ; 2) нормальное ускорение а n ; 3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с 2 ; 2) 28,9 м/с 2 ; 3) 28,9 м/с 2 ]

    Скоростью электропривода называют скорость электродвигательного устройства (электродвигателя) и всех движущихся масс, механически связанных с ним.

    В судовых электроприводах используют, в основном, два вида движения:

    1. поступательное, например, перемещение груза при помощи лебедки, движение ленты транспортера и т.п.;

    2. вращательное, например, вращение вала электродвигателя насоса.

    Кроме поступательного и вращательного, в некоторых судовых электроприводах используется возвратно-поступательное движение, например, в поршневых насосах.

    Вал электродвигателя вращается и через кривошипно-шатунный механизм застав-

    ляет поршень внутри цилиндра двигаться поступательно, вверх-вниз.

    Поэтому единицы измерения скорости при поступательном и вращательном движе-

    нии разные.

    Рассмотрим эти единицы.

    Единицы измерения скорости при поступательном движении

    При поступательном движении скорость поступательно движущихся масс называется «линейная скорость», обозначается латинской буквой «υ» и измеряется в «м/с» (метр в секунду) или «м/мин» (метр в минуту).Например, скорость подъёма груза электропривода лебёдки υ = 30 м/мин.

    На практике применяют внесистемные (не соответствующие системе СИ) едини-

    цы измерения скорости, например, километр в час (км/ч), узел (один кабельтов в час,

    причем 1 кабельтов равен одной морской миле, т. е. 1852 м), и т.д.

    Единицы измерения скорости при вращательном движении

    При измерении скорости вращающихся масс применяют два наименования скорости:

    1. «частота вращения», обозначается латинской буквой «n» и измеряется в

    «об/мин» (оборот в минуту). Например, частота вращения двигателя n = 1500 об/мин.

    Эта единица скорости – внесистемная, т.к. в ней используется внесистемная единица времени, а именно – минута (в системе СИ время измеряется в секундах).

    Тем не менее эта единица до сих пор широко применяется на практике. Например, в паспортных данных электродвигателей скорость вала указывается именно в об/ мин.

    2. «угловая скорость», обозначается латинской буквой «ω» и измеряется в

    «рад/с» (радиан в секунду) или, что одно и то же, с (секунда в минус первой степени). Например, угловая скорость электродвигателя ω = 157 с .

    Напомним, что радиан – вторая, кроме знакомого нам пространственного градуса

    (º), единица измерения углового расстояния, равная 360º / 2π = 360 / 2*3,14 = 57º36" (пять

    десят семь градусов и 36 минут).

    Впервые возникла в расчетах, где часто встречалось число 360º / 2π.

    Эта единица скорости – системная, т.к. в ней используется системная единица вре-

    мени, а именно – секунда.

    В теории электропривода применяется только вторая единица - (радиан в секунду)

    На практике надо уметь быстро переходить от одной единицы скорости к другой и наоборот.

    Поэтому выведем соотношение между этими двумя единицами.

    Угловая частота (через частоту вращения):

    ω = 2 πn / 60 = n / (60 / 2 π) = n / 9,55 ≈ n / 10 (1).

    Пример №1.

    В паспорте электродвигателя указана номинальная скорость вала n = 1500 об/мин.

    Найти угловую скорость вращения вала этого электродвигателя.

    Частота вращения вала

    ω =n / 9,55 = 1500 / 9,55 = 157 ≈ 150 с .

    Теперь найдем обратное соотношение.

    Частота вращения (через угловую частоту):

    n = 60 ω / 2 π = 60 ω / 2*3,14 = 9,55 ω ≈ 10 ω (2)

    Пример №2.

    Угловая частота вала электродвигателя ω = 314 с .

    Найти частоту вращения вала этого электродвигателя.

    Частота вращения вала

    n = 9,55 ω = 9,55*314 = 3000 ≈ 3140 об/ мин.


Самое обсуждаемое
Угловая скорость вращения формула через обороты Угловая скорость вращения формула через обороты
Беседа кто служит в армии Беседа кто такой защитник отечества для школьников Беседа кто служит в армии Беседа кто такой защитник отечества для школьников
Досрочный период сдачи ЕГЭ Досрочный период сдачи ЕГЭ


top